Մոբիուսի ժապավենը

Մաթեմատիկայում Մոբիուսի ժապավենը մի մակերևույյթ է, որն ունի միայն մեկ կողմ և միայն մեկ սահմանային կորագիծ։ Այն ամենապարզ չկողմնորոշված տարածոությունն է։ Այն կարող է դիտարկվել որպես կառավարվող մակերևույթ։ Դրա հայտնաբերումը վերագրվում է գերմանացի մաթեմատիկոսներ Յոհան Բենետիկտ Լիստինգին և Օգուստ Ֆերդինանտ Մոբիուսին 1858 թ․, չնայած նմանատիպ կառույցներ հայտնաբերվել են հռոմեական մ․թ․ա․ 200-250թթ․ խճանկարներում։ Մոբիուսի ժապավեն պատրաստելու համար կարելի է վերցնել թղթի մի շերտ, մի ծայրը կիսով չափ ոլորել և մյուս ծայրին ամրացնելով՝ ստանալ հագույց․ դրա սահմանագիծը մի պարզ փակ կորագիծ է, որի հետագիծը միայն մի անհանգույց լար է։ Ցանկացած հոմեոմորֆիկ տոպոլոգիական տարածություն կարող է կոչվել Մոբիուսի ժապավեն, որը թույլ է տալիս կառուցել կոնկրետ չափսեր ու կառուցվածք ունեցնող երկրաչափական մակերևույթների լայն տեսականի։ Օրինակ՝ ցանկացած եռանկյան ձախ անկյունը կարելի է սոսնձել աջ անկյանը՝ հակառակ ուղղությամբ։ Դրացից որոշները, բայց ոչ բոլորը, կարող են հանգիստ մոդելավորվել որպես մակերևույթ Էվկլիդյան տարածության մեջ։ Սերտորեն կապված, բայց ոչ հոմեմորֆիկ մակեևույթը ամբոջական բաց Մոբիուսի ժապավեն է՝ անսահման մակերևույթ, որտեղ շերտի լայնությունը անսահմանորեն երկարացված է և վերածված Էվկլիդյան ուղու։ Ժամացույցի ուղղությամբ կիսակորը Մոբիուսի ժապավենին տալիս է ներկառուցում, որը չի կարող շարժվել կամ ձգվել ժամացույցին հակառակ ուղղությամբ․ ուստի Մոբիուսի ժապավենը Էվկլիդյան տարարծության մեջ ներկառուցված աջակողմյան կամ ձախակողմյան քիրալ առարկա է։ Մոբիուսի ժապավեն կարելի է ստանալ թղթի շերտը կենտ թվով ծալելով կամ հանգուցելով և ոլորելով շերտը՝ նախքան նրանց ծայրերը միացնելը։ Մոբիուսի ժապավենը կտրող հանրահաշվական հավասարում գտնելը հեշտ է, բայց այդ հավասուրմները չեն նկարագրում վերոնշյալ երկրաչափական պատկերը։ Այդպիսի թղթե մոդելները զարգացող մակերևույթներ են, որոնք ունեն 0 գաուսյան կորություն և կարել է նկարագրել դիֆերենցիալ հանրահաշվական հավասարումներով։ Մոբիուսի ժապավանի Էյլերի բնութագիրը 0 է։
Մոբիուսի ժապավենն ունի մի քանի հետաքրքրաշարժ հատկություններ։ Եզրի երկայնքուվ նկարած գիծը մի ամբողջ պտույտ է գործում դեպի մեկնարկային կետին հակառակ մի կետ։ Եթե շարունակենք գիծը, կվերադառնանք մեկնարկային կետին և կունենանք նախնական ժապավենի կրկնակի երկարությունը․ 1 շարունակական կորը անցնում է ամբողջ սահմանը։ Կտրելով Մոբիուսը ժապավենը մեջտեղի գծով՝ ստացվում է մեկ երկար ժապավեն՝ երկու ամբողջական ոլորներով, այլ ոչ թե երկու առանձին ժապավեններ․ արդյունքը Մոբիուսի ժապավեն չէ, այլ հոմոմորֆիկ է գլանին Սա պատահում է, որովհետև սկզբնական ժապավենը ունի երկու անգամ ավելի երկար մեկ եզր։ Կտրելիս ստեղծվում է միևնույն երկարությամբ երկրորդ անկախ եզրը։ Այս նոր ավելի երկար ժապավենը մեջտեղից կտրելիս՝ ստեղծվում են երկու իրար շուրջ փաթաթված ժապավեններ՝ յուրաքանչյուրը երկու ամբողջական ոլորաններով։ Եթե ժապավենը կտրենք եզրից 1/3 մասով, կստեղծվեն երկու միացված ժապավեններ։ Ավելի բարակը Մոբիուսի ժապավեն է՝ նույն երկարությամբ, ինչպես սկզբնական ժապավենը։ Մյուսը՝ բնօրինակ շերտի եզրի հարևանությամբ և բնօրինակ շերտի կրկնակի երկարությամբ, հաստ ժապավեն է՝ երկու ամբողջական ոլորաններով։ Նմանատիպ շերտ կարելի է ստանալ իրար միացնելով մեկի փոխարեն 2 կամ ավելի կիսաոլորաններով շերտեր։ Օրինակ՝ 3 կիսաոլորաններով երիզը երկայնակի բաժանելով՝ դառնում է եռաթիթեղի հանգուցով ոլորուն ժապավեն․ եթե այս հանգույցը բացենք, կստանանք 8 կիսաոլորան պարունակող ժապավեն։ N հատ կիսաոլորանով ժապավենը բաժանելիս ստացվում է N+1 հատ ամբոջական ոլորան ունեցող ժապավեն, եթե N-ը կենտ թիվ է։ Հավելյալ ոլորան տալը և եզրերը վերամիավորելը ստեղծում են պատկերներ, որոնք կոչվում են պարադրոմիկ օղակներ։